对高中数学新课标教学中的若干建议

今年秋季我省将进入高中新课程实验的省份．这次高中数学课改对我们中学数学教学既是一个难得的机遇，它必将会对我们今后的教学产生深远的影响，同时又是非常巨大的挑战，在今后的教学中肯定会遇到了很多问题．从兄弟省市实验区反馈的情况来看，这些问题大致集中表现在下面几个方面：

（1）如何科学、合理地安排模块化的知识内容？

（2）如何正确处理教学任务重与教学课时紧的矛盾和把握好教材的深度和广度？

（3）如何发挥信息技术的优势和恰当用好信息技术？

（4）怎样做好初、高中知识的衔接工作？

（5）怎样正确对待教学辅助图书和恰当安排练习题？

（一）科学、合理地安排模块化的知识内容

1.教材选取 

构建共同基础，提供发展平台；提供多样课程，适应个性选择，是本次高中数学课改的两大基本理念．为了实现这两大基本理念，现行数学新课程教材有人教版Ａ、Ｂ本，苏教版、湘教版等多个版本可供选取，今年我省就统一使用人教版Ａ版教材。其中人教版Ａ版教材课程分为必修课程与选修课程，其中必修课程有五个模块；选修课程有四个系列

2.课程结构

人教版Ａ版教材必修课程的五个模块是：必修１～必修５，一个学期教两个模块，共10学分。

选修模块包含四个系列，其中又分必选和任选。

系列１：有二个模块（必选１－１、必选１－２），每模块２学分，共４学分，供文科选用。

系列２：有三个模块（必选２－１、必选２－２、必选２－３），每模块２学分，共６学分，供理科选用。

系列３：有六个专题（任选系列３－１～任选系列３－６），每专题１学分，共６个学分，暂不作为高考内容，供学生选修取得学分（要求文科学生需取得１６－２０学分，理科学生需取得２０－２４学分）。

系列４：有十个专题（任选系列４－１～任选系列４－10），每专题１学分，共10学分，供参加高考的学生选用。

3. 开设顺序

从实验区省市实施来看，常见的三种安排是：

①1→2→3→4→5；    ②1→4→5→2→3；      ③1→4→5→3→2

4.高考情况

根据教育部2007年普通高等学校招生全国统一考试新课程数学科考试大纲要求，数学科高考包括必考内容和选考内容两部分。其中

文科

必考内容：必修１～５，必选内容：必选１－１、１－２。

选考内容：选修系列４中的三个专题，这三个专题是否选考及选考专题的内容与数量由各省区决定。目前大多数省市文科学生暂时只选修系列４的二个专题，即选修４－１，几何证明选讲，选修４－４，坐标系与参数方程。

理科

必考内容：必修１～５，必选内容：必选２－１、２－２、２－３。

选考内容：选修系列４中的部分专题，这些专题是否选考及选考专题的内容与数量由各省区决定。目前大多数省市理科学生暂时只选修系列４的三个专题，即选修４－１，几何证明选讲，选修４－４，坐标系与叁数方程，４－ 5 ，不等式的证明的部分内容。

5.课时开设计划

高中一年级

高中二年级

高中三年级

说明（１）表中“必修１”表示必修模块１，余类推。

（２）斜杠后的数字表示周课时数。由于新课程数学内容有所增加，高考内容也相应增多，建议高一周课时５节，高二上学期第１学段文、理各６节，第二学段文科５节，理科６节；高二下学期，文科每周５节，理科每周６节。高三上、下学期，文理每周各６节。

（二）正确处理教学任务重与教学课时紧的矛盾，切实把握好教材的深度和广度

《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》），《标准》中明确规定，每个模块36课时，4课时/ 周．一个模块9周讲完，1周复习考试，完成一个模块需要10周的时间．每个学期要完成两个模块的学习．实验区所有教师都认为，按照现在课时的安排，这是一个不可能完成的任务．那么我们怎样看待这个问题？ 

1.《标准》规定的内容确实增多了，教材也变厚了，但《标准》的要求与原大纲要求有了很大的区别．

《标准》教材与大纲教材比较内容非常丰富了许多，增加了不少知识点，这也是符合当前世界潮流；其次是教材糅入了教学设计的成分，特别是考虑到学生的学习，在正文中设置了“观察”“思考”“探究”栏目，发挥问题的作用．“看过问题三百个，不会解题也会问”，在学生主动发现问题、提出问题的能力比较薄弱的情况下，先帮助学生提出问题，引导学生思维，适当展开学习过程．使学生的学习更主动、更生动、更富探索性；再次，教材中的选材素材“观察与猜想”“阅读与思考”“探究与发现”等拓展性栏目．基于此，《标准》教材厚了一些．但是《标准》的结构体系、内容安排等作了较大的调整，特别是关于教学要求变化很大，因此教师对整套教材的结构体系以及内容安排应该有个整体的把握，教学时要认真钻研教材，深刻领会教材的编排意图和新大纲的要求，如：

关于函数部分

（1）对函数概念的认识

“函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终．”函数是两个数集之间的一种对应关系，对这种对应关系的认识和理解需要一个过程．

从课程内容本身来看，函数的内容是分阶段安排的：《数学1》安排函数的基本概念、基本初等函数I：指数函数、对数函数；《数学4》安排基本初等函数Ⅱ：三角函数；《选修二1-1》（《选修2-2》）安排导数及其应用．从函数与其他一些数学内容联系来看，《数学5》中“数列”是一种特殊的函数，“一元二次不等式”与二次函数的联系；《数学3》“统计”中两个变量线性相关与一次函数的联系；《数学2》解析几何初步以及《选修1-1》（《选修2-1》）中“圆锥曲线与方程”与函数的联系．学习这些知识内容，可以加深对函数概念的认识，体会不同知识内容的联系性，从不同角度看待同一数学内容，感受数学的整体性．

（2）关于函数的单调性

单调性虽然是函数的重要性质，但对它的认识、研究是个漫长的过程．在《数学1》中介绍函数单调性的定义，并通过定义，判断简单函数的单调性，然后讨论了指数函数、对数函数以及幂函数的单调性；《数学4》在介绍正弦函数、余弦函数、正切函数时，进一步研究了函数的单调性；在《选修1-1》（或《选修2-2》）中，用导数作为工具，研究了一般函数的单调性，主要是三次多项式函数的单调性．如果在《数学1》中就让学生用函数单调性的定义，讨论三次多项式函数和一些复杂的函数的单调性．那么，我们可以肯定地说，教师对教材整体的把握方面存在很大的问题．

（3）关于复合函数

在《数学1》中没有明确提出“复合函数”的概念，明确提出“复合函数”的概念是在《选修2-2》“第一章导数及其应用”中．但在《数学1》的教学中，如（《数学1》第19页例1(3)），已知函数f (x) = .（3）当a＞0时，求f(a – 1)的值. 这个问题我想更多地应从函数概念本身这个角度出发，着重指出其对应关系，学生肯定能够接受，不一定非要给出“复合函数”的概念，这样教师若在这方面再做些拓展深化，学生的课业负担必将会很重．

（4） 关于反函数

对反函数的处理，《标准》“只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数”，“知道指数函数y = a^x与对数函数y = log_ax互为反函数（a＞0，a≠0）”．至于“互为反函数的两个函数的图象关于直线y = x对称”更不作为要求．因此关于反函数的问题，《标准》和教材的要求非常明确，不要拓展内容，不要提高要求，应适可而止．

（5）关于幂函数

幂函数在高中数大纲教材中反反复复地出现，但大纲教材没有提出“幂函数”的概念，这次高中新课程中又一次提出幂函数的概念．其实教师和学生对幂函数并不陌生，正比例函数y = x，反比例函数y = x^－1，最简单的二次函数y = x²都是幂函数．现在只不过是给出了幂函数的形式化定义，且只讨论指数是1，2，3，–1， 的幂函数，结合它们的图象，了解它们的变化情况．其实y = x³，y = 在《选修1-1》（《选修2-2》）的“导数及其应用”中会对y = x³有更深入的研究；，y = 从“圆锥曲线与方程”的角度看是抛物线的一部分．在《数学1》中，对幂函数的要求很低，主要是结合它们的图象，了解它们的变化情况，并与指数函数、对数函数进行比较，比较它们的增长差异．

 （6）关于函数模型及其应用

首先要对“数学模型”有个正确的认识．《标准》中多次提到“数学模型”一词，目的是进一步加强数学与现实世界的联系．数学模型是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的描述．数学模型的形式是多样的，它们可以是几何图形，也可以是方程式、函数解析式等等．实际问题越复杂，相应的数学模型也越复杂．当数学模型的形式是函数时，这时，我们称之为函数模型．函数模型的表现形式也是多样的：解析式、图象、表格等．

本次高中数学课程改革把“发展学生的数学应用意识”作为课程的基本理念之一，提出“高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值”． 《标准》中，函数模型的建立及其应用贯穿于整个高中数学课程教材的始终，分层次、分步骤，螺旋安排，逐步深入．在《数学1》、《数学4》的“三角函数”、《数学5》的“数列”以及《选修1-1》（《选修2-2》）的“导数及其应用”中都有函数模型及其应用的内容．它们收集许多社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用等等．

 （7）关于函数的定义域、值域

函数的定义域和值域是函数的组成部分．尽管《标准》要求“会求一些简单函数的定义域和值域”，同时“避免在求函数定义域、值域时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编造一些求定义域和值域的偏题”． 因此在教学中，教师不要拔高这方面的要求，出现很多把对数、根号、分母、绝对值、一元二次不等式等“整合”在一起的“堆砌题”，使学生“沉浸”在繁琐的技巧训练中，在一定程度上冲淡了对函数本质及有关性质的理解．值域的问题亦如此，很多借助求函数的反函数定义域的方法求函数的值域更是《标准》和教材中没有提到的．增加这些内容，势必拓展这方面的要求．关于这方面的要求，要切实把握好．实际上，建立函数模型描述实际问题、解决实际问题时，其定义域和值域是显而易见的。

  关于一元二次不等式

高中“大纲教材”在第一册（上）“第一章集合与简易逻辑”中有一元二次不等式及其解法的内容，现在“一元二次不等式”的内容放在《数学5》中．之所以这样，是考虑到现在强调“函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型”，讲函数的背景、函数的性质、函数的应用，对求函数的定义域、值域的要求不高，况且结合实际问题求函数的定义域、值域都是显而易见的．如果在求函数的定义域、值域方面出现过于繁琐的技巧训练，“一元二次不等式”前置，势必影响对函数概念本身的认识，这也是“一元二次不等式”内容后置的一个重要原因．

  关于二分法与算法

二分法是这次高中数学课改新增加的内容．引入二分法的主要目的是加强函数与方程的联系，它是求方程近似解的一种方法．由于二分法中算法思想非常明确，在《数学1》中介绍二分法，可以为讲解“算法”内容提供重要的素材．介绍二分法时，教师心中始终要有整个高中数学课程的框架．

关于立体几何

立体几何部分，可以说是这一次新课改中变化最大的一个部分，比较突出的是《数学2》中立体几何初步的内容．与传统的立体几何的结构体系相比，新课程中的立体几何的结构体系有重大改革．传统的立体几何内容，常从研究构成空间几何体的基本要素：点、直线和平面开始，讲述平面及其基本性质，点、直线、平面之间位置关系和有关公理、定理，再研究由它们组成的几何体，包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、台、球的结构特征、体积、表面积等等，基本上按照从局部到整体的原则．现在，先从对空间几何体的整体感受入手，再研究组成空间几何体的点、直线和平面，最后回到几何体，遵循“整体——局部——整体”的原则．这种变化很大程度上考虑到，适当减轻几何论证的难度，降低立体几何学习入门的门槛，提高学生学习立体几何的兴趣．对发展学生的空间观念，培养学生的空间想象能力、几何直观能力有很大帮助．教师需要适应这种变化，尽管在适应过程中会遇到诸多的问题，这些问题主要体现在以下几方面．

（1）  棱柱、棱锥、棱台这些空间几何体要求到什么程度

按照《标准》的要求，教材首先通过实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征．结构特征是这些空间几何体的本质特征，我们需要抽象概括出这些空间几何体的概念．以棱柱为例，抽象出它的本质特征后，要不要讲斜棱柱、直棱柱、正棱柱以及棱柱的一些性质？棱锥也有类似的问题，正棱锥怎么讲？在何处讲？

我们认为，这些问题肯定要讲，最好是在讲点、直线、平面的位置关系的内容中，应穿插介绍直棱柱、正棱柱、正棱锥等内容．如果放在“空间几何体”中，由于线、平面的平行与垂直等位置关系还没有明确地界定，单纯地“直观感知、操作确认”，思维层面不高，很难从本质上把握这些空间几何体的特征．因此，在学习完“点、直线、平面之间的位置关系”后，可引导学生从点、直线、平面的角度重新认识空间几何体，从本质上把握空间几何体的结构特征，对空间几何体的结构特征有更全面的认识．

(2 ) 关于三视图与几何直观能力、空间想象能力

视图和投影是《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》新增的内容，作为与初中数学课程内容的衔接，“空间几何体”包括视图和投影的内容．

增加三视图的有关内容，对于进一步培养学生的空间想象能力和几何直观能力具有重要的促进作用．过去的“立体几何”内容相对来说，这方面比较薄弱．三视图的有关内容在一定程度上改善了这种状况．对图形既需要直观地感觉，也需要思辨地论证．我们要求学生能够画出空间几何体的三视图和直观图，能够从空间几何体的直观图画出它的三视图，从三视图画出它的直观图等等．使得学生能通过“实物模型——三视图——直观图”这样一个相互转化的过程认识空间几何体．这些数学活动是培养学生空间想象能力的有效途径．只有这样，立体几何的教学目标才会更加全面．但一个现实情况是，“空间几何体” 只安排了8个课时，留给“空间几何体的三视图和直观图”仅有2个课时的时间，很多内容无法展开．要想说得很清楚，势必冲破2个课时的限制，这显然违背《标准》的要求．因此，很多内容“点到为止”，要求不能高。

(4) 关于“三垂线定理及其逆定理”

很多教师都说，整个高中立体几何就是“三垂线定理”．尽管说得过分些，但从另外一个角度说明，“三垂线定理”在整个高中“立体几何”中的地位和作用．确实，“三垂线定理”是整个立体几何内容的一个典型代表，处在整个立体几何知识的枢纽位置，综合了很多知识内容：直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行．在《数学2》“点、直线、平面之间的位置关系”中虽然没有明确提到“三垂线定理”，在选修2-1“空间向量与立体几何”中提到“能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）”．因此理科学生应该知道这个定理，而且只要求了解其内容，并用向量方法证明，不要求运用此定理证明有关的命题．实际上，考虑到目前“点、直线、平面之间的位置关系”一章仅有10课时，而且直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定定理仅仅要求归纳得出，在《数学2》中没有严格的证明．

(5)关于推理论证的要求

从必修课程·数学2和选修课程系列2·选修2-1的“内容与要求”看，“立体几何”部分推理论证的要求有所变化，有关直线、平面位置关系的一些判定定理用向量方法加以证明．而经典的“立体几何”除了培养学生的空间想象能力和几何直观能力外，非常强调推理论证能力，把推理论证能力放在最突出的位置．由于整个义务教育阶段对几何的推理论证能力的要求有所降低，与义务教育阶段相衔接的高中数学新课程这方面的教学要求也相应发生了很大变化，不是《标准》对几何推理论证的要求降低了，而从《标准》和整套教材看，不难发现，在“立体几何”中对于推理论证的要求不是一步到位，而是分阶段、分层次、多角度的．

①对空间几何体的认识，先直观感受、操作确认，不做任何推理论证的要求．

②以长方体为载体（包括其他的实物模型、身边的实际例子等）对图形（模型）进行观察、实验和说理，引入合情推理．

③严格的推理论证，如选修课程系列2·选修2-1中关于直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定定理的证明．

④在选修课程系列2·选修2-1中的“空间向量与立体几何”中引入空间向量，用空间向量处理平行、垂直、距离和夹角等问题．

2  实现高考的目标需要循序渐进．

盯着高考无可厚非，很正常，是现实情况，况且高考成绩是检验教学质量的一个非常重要的指标．但知识的安排是螺旋上升的，学生的学习是循序渐进的，要把相关的知识内容放在整个高中课程教材内容的通盘中考虑．要深入研读课程教材，了解整套高中教材的内容，不同阶段有不同的要求．教师总希望教学要求一步到“位”， 这样老师肯定普遍感觉课时不够，教师感觉很累．学生肯定感觉学习困难，长此以往学生会失去学习数学的兴趣。因此教要对《标准》、《教师用教学用书》烂熟于心，还要深入研读培训资料．

（三）充分发挥信息技术的优势，注重信息技术与数学课程的有机整合

《基础教育课程改革纲要（试行）》中明确提出：“大力推进信息技术在教学过程中的普遍应用，促进信息技术与学科课程的整合，逐步实现教学内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式和师生互动方式的变革，充分发挥信息技术的优势，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具．”

   当前信息技术的发展日新月异，信息技术的功能非常强大．从与数学课程有关的信息技术来看，信息技术工具主要包括科学计算器、图形计算器、计算机等；信息技术软件主要包括几何画板、TI（Texas Instruments）的APPS（Handheld Application Software）、Z+Z智能教育平台、办公软件以及其他数学教育技术平台等等．有计算机环境下的，也有图形计算器环境下的．从软件的功能看，它主要包括：函数作图与分析功能、几何绘图功能、计算机符号代数功能、电子表格与数据处理功能、程序编辑功能、网页浏览功能.

《标准》是高中数学课程教材改革的主要依据．《标准》从课程改革的基本理念、内容标准、实施建议等方面对数学课程中的“信息技术”进行了阐述．比如，《标准》在课程第九条基本理念——注重信息技术与数学课程的整合中提出：“现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响．高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容地有机整合（如把算法融入到数学课程的各个相关部分），整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质．高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现．”由此可见，信息技术与数学课程整合是当前数学教育界关注的热点问题，同时教材编写、教学、评价必须认真实施的问题．

本次高中课标教材在正文的很多地方表述信息技术的应用，如用计算器或计算机做出的对应值和图像、用计算器进行计算、借助计算器或计算机用二分法求的近似解、借助计算器进行弧度制与角度制的互化、利用计算器比较三角函数值的大小、画三角函数的图像等等；同时设置了很多拓展性栏目“信息技术应用”，如用计算机绘制图像、借助信息技术探究指数函数的性质、借助信息技术求方程的近似解等等．

 (四）做好初、高中知识的衔接工作

初、高中知识的衔接是个很大问题，以下几个方面显得较为突出：

（1）因式分解

目前，义务教育初中阶段对因式分解的要求很低，只要求提公因式法和公式法，其中公式是a² – b² = (a +b) (a –b），a² +2ab +b² = (a +b) ² ，a² –2ab+b² = (a – b)² ，不包括立方和（差）公式．没有提及x² + (p +q) x + p q型式子的因式分解．但在教材中出现了类似的式子，所以初中阶段必须远当加以补充。

（2）二次函数

二次函数是初中数学的重要内容，也是高中学习函数内容的起点，引进函数的概念，研究函数的性质：单调性、奇偶性，函数与方程的关系，都以二次函数为载体．但初中的要求偏低，与高中知识内容的要求有很大距离．因此初中阶段，对二次函数的有关知识必须加强．

（3）一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系是数学中的一个重要内容，目前在初中阶段，没有明确提出一元二次方程根与系数的关系，但其结论非常重要，特别是解析几何中求线段的长度．目前高中新课程的教学中，这方面的问题比较突出．因此初中教学时，必须补充有关的内容。

   (五）正确对待教学辅助图书和恰当安排练习题

今年上半年，在学校教科室的领导下，我组组织了部分教师编写了数学1和数学2的教案，学案，习案三位一体的配套教学用书，为今年的新课改奠定了良好的基础。但由干时间紧，编者对教材的领会不够，可能有不少差错，希望在使用过程中得到订正和完善，使辶真正打造为一套高质量的校本教材，为新一轮课改作出自已的贡献。                                       

                               龚日辉

                                      2007.7.17

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